Em sala de 23 pessoas, chance de 2 fazerem aniversário no mesmo dia é maior do que 50%; entenda 'paradoxo matemático'

Por que a chance de 2 pessoas da turma fazerem aniversário no mesmo dia é tão grande?
Imagine que você entra numa sala cheia de desconhecidos. As clássicas perguntas para quebrar o gelo começam as ser feitas: de onde são, o que fazem, qual o signo de cada um. E, mesmo com poucas interações, surgem as coincidências: duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia.
Mas se engana quem pensa que seria necessária uma sala com centenas de pessoas para isso acontecer.
➡️Em um local com pelo menos 23 pessoas, a probabilidade de duas terem nascido no mesmo dia é superior a 50%. Agora, se for um ambiente com 50 pessoas, a chance sobe para 97%.
E isso não é obra do destino, teoria da internet ou mesmo coincidência. É puramente probabilidade, uma regra na matemática conhecida como paradoxo do aniversário.
🧮Essa vertente da matemática é muito testada em vestibulares e também no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem). Mas a teoria viralizou nas redes por ser capaz de explicar algo que parece muito contraintuitivo.
Em resumo, esse paradoxo, considerado um dos mais famosos da Matemática, estabelece que a chance desse fenômeno acontecer está diretamente ligada ao número de pares possíveis que podem ser formados dentro do grupo – e não ao número total de indivíduos.
"O ponto importante é que não estamos perguntando se alguém faz aniversário no mesmo dia que você, mas sim se existe qualquer par de pessoas com aniversários coincidentes", explica Rodney Luzio, coordenador do Curso Anglo.
Marco Moriconi, professor de matemática e integrante do Comitê de Provas da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP), acrescenta que, uma vez que não se trata de um par específico e, sim, um par possível, à medida que o número de duplas cresce, fica cada vez mais provável de uma coincidência como essa acontecer.
Probabilidade explica 'coincidência'
Pode parecer quase inacreditável, mas só é necessário pouco mais de 20 pessoas em um mesmo local para que a chance delas compartilharem a mesma data de nascimento aumente muito.
E Luzio, que também é professor de Matemática, detalha o passo a passo para se chegar a essa probabilidade:
➡️ Calcula-se primeiro a probabilidade de todos fazerem aniversário em dias diferentes, supondo um ano de 365 dias e distribuição uniforme dos aniversários:
P(todos diferentes) = (365/365) × (364/365) × (363/365) × ... × (343/365)
"Note que a primeira pessoa pode fazer aniversário em qualquer dia, logo temos 365 chances; a segunda possui 364; a terceira, 363...até a 23ª pessoa que possui 343 dias possíveis para fazer aniversário", analisa. 
Esse produto vale aproximadamente 0,4927. 
➡️ A partir disso, se subtrai de 1 (100%), para ter a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia. 
P(pelo menos dois iguais) = 1 − 0,4927 = 0,5073, ou 50,73%
A razão para esse resultado é que, entre 23 pessoas, existem C (23,2) = 253 pares possíveis de comparação.
"Com 366 pessoas numa sala, por exemplo, teríamos certeza de que essa coincidência acontecer. Mas com 50 já há uma probabilidade muito alta, justamente pelo número de pares", comenta Moriconi.
Se a fórmula é testada número por número, é possível observar que a chance só ultrapassa os 50% de dois indivíduos na sala terem nascido no mesmo dia a partir de 23 pessoas.
"Assim, quanto maior o número de pares, maior a chance de ocorrer pelo menos uma coincidência. Com 57 pessoas, a probabilidade chega a 99%, aproximadamente", prevê o professor.
Vale o mesmo para 'coincidências' com datas específicas?
O que os professores reiteram é que, se for considerada uma data específica – por exemplo, o seu aniversário – a situação muda completamente.
Isso porque, nesse caso, não se procura simplesmente uma coincidência de duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia, e sim apenas indivíduos que tenham nascido em um dia específico.
"Para uma data específica, o grupo tem que ser perto de 250 pessoas, o que é surpreendentemente alto, mas justamente pela restrição imposta na probabilidade", compara o professor Moriconi.
E, assim, a conta muda totalmente:
➡️Cada uma das 22 pessoas possui probabilidade de 1/365 de fazer aniversário exatamente nesse dia. 
➡️A probabilidade de ninguém compartilhar essa data é: (364/365)²²
➡️Logo: P(alguém faz aniversário no meu dia) = 1 − (364/365)²² ≈ 5,85%
"Comparando os dois casos, é importante notar que a nossa intuição costuma falhar em problemas de probabilidade: o cérebro tende a pensar em uma data específica, quando o paradoxo considera todas as possíveis coincidências entre todos os pares de pessoas", afirma o professor. ...